Question

已知函数f（x）=x|x-m|（x∈R），且f（1）=0．
（Ⅰ）求m的值，并用分段函数的形式来表示f（x）；
（Ⅱ）在图给定的直角坐标系内作出函数f（x）的草图；
（ III）由图象写出函数f（x）的奇偶性及单调区间．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=x|x-m|（x∈R），且f（1）=0，
∴f（1）=|1-m|=0，m=1
∵f（x）=x|x-1|（x∈R），
∴f（x）=，
（II）由（I）可得函数的图象如下图所示：

（III）由图可得，该函数是非奇非偶函数．该函数的单调区间：单调增区间有（-∞，-]，[1，+∞）

单调减区间[，1]．
分析：（I）利用f（1）=0，在函数f（x）=x|x-m|的解析式中令x=1，即可求出m的值，再利用零点分段表示，我们分析求出x＜1和x≥1时，函数的解析式，进而可以用分段函数的形式表示该函数；
（II）根据分段函数分段画的原则，我们根据（I）的解析式，分别画出x＜1和x≥1时，函数的图象，综合后即可得到该函数的图象；
（III）根据（II）中函数的图象，奇偶性，看是否关于原点对称或关于纵轴对称．单调增区间看上升趋势，单调减区间看下降趋势．
点评：本题主要考查绝对值函数转化为分段函数，研究其图象和性质．还考查了数形结合的思想与方法．