Question

【题目】边长为2正方体中，点E在棱CD上.

（1）求证：；

（2）若E是CD中点，求与平面所成的角的正弦值；

（3）设M在棱上，且，是否存在点E，使平面⊥平面，若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2） （3）为的中点时，平面⊥平面.

【解析】

（1）建立坐标系，设出正方体的棱长，设出点的坐标，写出要证的两条线段对应的向量坐标，求两个向量的数量积，得到两个向量的数量积为0，得到对应的两条直线垂直．
（2）设出平面的一个法向量，利用这个法向量与平面上的两个不共线的向量的数量积为0，求出一个法向量，利用公式可得到线面角的正弦值．
（3）假设存在符合条件的点，得到平面的一个法向量，根据两个平面垂直，得到对应的两个平面的法向量的数量积是0，得到关于的方程，解方程即可，舍去不合题意的结果

在正方体中，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1，则，,

（1）设，则,

所以,所以

故.

(2) 若E是CD中点，则，,

设出平面的一个法向量

则即

取，得，又

则

所以与平面所成的角的正弦值为

（3）设满足条件的点，设平面的一个法向量

,

则即

取，得，

由M在上，且，则

设平面的一个法向量

,

则即

取，得，

平面⊥平面，则，解得或（舍）

所以当，即为的中点时，平面⊥平面，