Question

设数列{a_n}前n项和为S_n，若a₁=1，．n=1，2，3，…
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若，数列{b_n}前n项和为T_n，证明：．
（3）是否存在自然数n，使．若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知S_n，利用a_n=求a_n
（2）由（1）知），利用裂项求和可得=，结合数列的单调性可知答案，
（3）存在性问题，假设存在符合条件的n，由（1）知，
若，即63=63，解得n的值．
解答：解：（1）当n≥2时，
∵
∵
∴（n-1）a_n-（n-1）a_n-1-3（n-1）=0
∵a_n-a_n-1=3，∴a_n=1+（n-1）•3=3n-2．

（2）
∴，
∵T_n单调递增∴，
又∵，∴，综上．
（3）∵
∴，∴，∴n=9．
点评：（1）由S_n求a_n，易漏对n=1的检验（2）主要考查裂项求和（3）存在性问题首先假设n存在，若找出n的值，即存在，若推出矛盾，则不存在n