Question

【题目】如图①，已知矩形中，，，为的中点.将沿折起，使得平面平面（如图②），并在图②中回答如下问题：

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)．

【解析】

(1)根据图①中数据可利用勾股定理逆定理得，再结合图②中平面平面，利用面面垂直的性质定理可得平面，从而证出；

(2)要求直线与平面所成角，只需求出直线的方向向量与平面的法向量，代入向量的夹角公式求出，设直线与平面所成角为，利用，即可得到结果．

(1)如图①，矩形中，，，为中点，

所以，所以，

由勾股定理逆定理得，

如图②，平面平面，

且平面平面，平面，

所以平面，又平面，

所以.

(2)取的中点，作，因为平面，平面，

所以，又，，所以，，

因为，所以，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

由，得，令，则，.

所以，

所以，

设直线与平面所成角为，则，

所以与平面所成的角的正弦值为．