Question

已知一个口袋中装有个红球（且）和个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．

（1）当时，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为，求的分布列；

（2）记三次摸球中（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为，当取多少时，最大．

 

Answer 1

【答案】

（1）分布列见解析（2）

【解析】本题是一个在等可能性事件基础上的独立重复试验问题，体现了不同概型的综合．第Ⅲ小题中的函数是三次函数，运用了导数求三次函数的最值

（1）本题是一个等可能事件的概率，若n=3，一次摸奖中奖的概率p=5/9 ，三次摸奖是独立重复试验，然后利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式进行求解即可；

（2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率为P为P=P₃（1）=C₃¹•p•（1-p）2=3p³-6p²+3p，当p= 时，P取得最大值．得到n的值．

解：（1）当时，每次摸出两个球，中奖的概率

;    ;

;;

分布列为：

（2）设每次摸奖中奖的概率为，则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：，，

，知在上为增函数，在上为减函数，当时取得最大值．

又,  解得．