Question

设椭圆C：的一个顶点与抛物线：的焦点重合，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据抛物线方程得它的焦点坐标为（0，），即为椭圆的上顶点，得到b=，结合椭圆的离心率为，可解出a、c的值，即可得到椭圆C的方程；
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l方程：y=k（x-1），与椭圆消去y得关于x的方程，由根与系数关系得：x₁+x₂=，x₁x₂=，代入=x₁x₂+y₁y₂的式子并进行化简，可得当k=时，，从而得到符合题意的直线l方程；
（III）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用（II）的方程并结合两点距离公式进行化简，可得|MN|=，再设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），同样的方程可得|AB|=2，由此代入化简，即可得到要求的值．
解答：解：（I）抛物线的焦点坐标为（0，），可得椭圆的上顶点为（0，），得b=
∵椭圆的离心率，得=，解得a=，c=1
∴椭圆C的方程是
（II）由（I）得椭圆C的右焦点为F₂（1，0）
①当直线l与x轴垂直时，直线l斜率不存在，此时M（1，），N（1，-）
∴=1×1+×（-）=-，不符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线方程l：y=k（x-1），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由，得（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0
x₁+x₂=，x₁•x₂=
∴=x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]=（1+k²）x₁•x₂-k²（x₁+x₂）+k²=-1
即（1+k²）•-k²•+k²=-1
解之得k=，故直线l的方程是y=（x-1）或y=-（x-1）．
（III）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
由（II）得|MN|==|x₁-x₂|
===
由消去y，整理得
∴|AB|==|x₃-x₄|=2
∴==6．
点评：本题给出椭圆的上顶点与抛物线的焦点重合，求椭圆方程并求满足数量积的焦点弦所在直线方程，着重考查了椭圆、抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线关系和向量的数量积等知识，属于中档题．