题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，点P（2，1）是椭圆上一定点，若斜率为 $数学公式$ 的直线与椭圆交于不同的两点A、B．
（ I）求椭圆方程；
（ II）求△PAB面积的最大值．

解：（ I）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
又P（2，1）在椭圆上，代入椭圆方程，
得： $\text{[math]}$ ，
∴a²=8，b²=2，
椭圆方程为： $\text{[math]}$ …（6分）
（ II）设直线AB的方程为： $\text{[math]}$ ，
与椭圆联列方程组得， $\text{[math]}$ ，
代入得：2x²+4mx+4m²-8=0，…（8分）
∵△=16m²-8（4m²-8）＞0，
解得，-2＜m＜2
由韦达定理得：x₁+x₂=-2m，
x₁x₂=2m²-4 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
P到直线AB的距离： $\text{[math]}$ ，…（12分）
$\text{[math]}$
当4-m²=m²，
即 $\text{[math]}$ 时，
S_△PAB有最大值2 …（15分）
分析：（ I）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，由此能求出椭圆方程．
（ II）设直线AB的方程为： $\text{[math]}$ ，与椭圆联列方程组得， $\text{[math]}$ ，代入得：2x²+4mx+4m²-8=0，再由根的判别式和韦达定理能求出S_△PAB的最大值．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．