题目内容

设一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f（-1）=0．若点（n+1，
an+1
an
）（n∈N*）在曲线C上，并且a1=a2=1．
（1）求曲线C的方程；?
（2）求数列{an}的通项公式；?
（3）设Sn=
a1
2!
+
a2
3!
+…+
an
(n+1)!
，求Sn．
分析：（1）设f（x）=ax+b（a≠0），可求C的方程，然后由f（-1）=0及（2，
a2
a1
）在曲线C上，可求a，b
（2）由点（n+1，
an+1
an
）在曲线C上可得，
an+1
an
=n，从而利用叠乘可求an，
（3）由sn=
0!
2!
+
1!
3!
+…+
(n-1)!
(n+1)!
，化简后可以利用裂项可求数列的和
解答：解：（1）设f（x）=ax+b（a≠0），则C的方程为y=
1
a
(x-b)
由f（-1）=0可得-a+b=0①
由（2，
a2
a1
）在曲线C上可得，1=
1
a
(2-b)
①②联立可得，a=b=1
曲线C的方程为y=x-1
（2）由点（n+1，
an+1
an
）在曲线C上可得，
an+1
an
=n
∴
an
an-1
•
an-1
an-2
…
a2
a1
=(n-1)!
即
an
a1
=(n-1)!
∵a1=1
∴an=（n-1）!
（3）sn=
0!
2!
+
1!
3!
+…+
(n-1)!
(n+1)!

=
1
2×1
+
1
3×2
+…+
1
(n+1)n

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1

=1-
1
n+1
=
n
n+1
点评：本题主要考查了互为反函数的求解，数列的叠乘法求解数列的通项及裂项求和方法的应用
练习册系列答案
相关题目
已知一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f[f（1）]=-1，若点(n，
an+1
an
)(n∈N+)在曲线C上，并有a1=1，
an+1
an
-
an
an-1
=1(n≥2)
（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn=
an
(n+2)!
，求证：数列{bn}的前n项和Sn＜
1
2
．
（1）设一次函数f（x）满足f（3）=2，f（2）=3，求f（5）的值；
（2）若函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[a，b]（a＜b），则称函数f（x）是[a，b]上的“方正”函数．
①设g(x)=
1
2
x2-x+
3
2
是[a，b]上的“方正”函数，求常数a，b的值．
②问是否存在常数a，b（a＞-2），使函数h(x)=
1
x+2
是区间[a，b]上的“方正”函数？若存在，求出a，b的值；不存在，说明理由．
设一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f（-1）=0．若点（n+1，
an+1
an
）（n∈N*）在曲线C上，并且a1=a2=1．
（1）求曲线C的方程；?
（2）求数列{an}的通项公式；?
（3）设Sn=
a1
2!
+
a2
3!
+…+
an
(n+1)!
，求Sn．
设一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f（-1）=0．若点（n+1，）（n∈N*）在曲线C上，并且a1=a2=1．
（1）求曲线C的方程；?
（2）求数列{an}的通项公式；?
（3）设Sn=，求Sn．

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