题目内容
在数列an中，a1=1，2an+1=(1+
)2•an．
（Ⅰ）证明数列{
}是等比数列，并求数列an的通项公式；
（Ⅱ）令bn=an+1-
an，求数列bn的前n项和Sn．
| 1 |
| n |
（Ⅰ）证明数列{
| an |
| n2 |
（Ⅱ）令bn=an+1-
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）由条件得
=
•
，（2分）
又n=1时，
=1，（3分）
故数列{
}构成首项为1，公式为
的等比数列．（4分）
从而
=
，即an=
．（6分）
（Ⅱ）由bn=
-
=
（8分）
得Sn=
+
+… +
?
Sn=
+
+…+
+
，
两式相减得：
Sn=
+2(
+
+…+
)-
，（10分）
所以Sn=5-
．（12分）
| an+1 |
| (n+1)2 |
| 1 |
| 2 |
| an |
| n2 |
又n=1时，
| an |
| n2 |
故数列{
| an |
| n2 |
| 1 |
| 2 |
从而
| an |
| n2 |
| 1 |
| 2n-1 |
| n2 |
| 2n-1 |
（Ⅱ）由bn=
| (n+1)2 |
| 2n |
| n2 |
| 2n |
| 2n+1 |
| 2n |
得Sn=
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 22 |
| 2n+1 |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 22 |
| 5 |
| 23 |
| 2n-1 |
| 2n |
| 2n+1 |
| 2n+1 |
两式相减得：
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 2n |
| 2n+1 |
| 2n+1 |
所以Sn=5-
| 2n+5 |
| 2n |
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