Question

【题目】已知函数，若曲线在点处的切线方程是，不等式的解集为非空集合，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）求的解析式，并用表示；

（Ⅱ）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根据不等式的解集可知相应方程的根，利用根与系数的关系求解即可.

（Ⅱ）不等式恒成立转化为，令，根据其导数，分类讨论其最小值，即可求出实数的取值范围.

（Ⅰ）因为，

所以，∴，

∴，

因为，所以和为方程的两根，

所以.

（Ⅱ），

因为，

由非空集合得，

令，

则，

又令，

则，

∴在上单调递增，且，

①当时，恒成立，

即函数在上单调递增，

则，

②当时，则，使且时，，即，即单调递减，

时，，即，即单调递增.

∴，∴只须满足，

又，

从而，解得，

由，

令，

则，∴在上单调递减，

则，

又，

故，

综上.