Question

已知函数（a∈R）．
（1）当a=-3时，求函数f（x）的极值；
（2）设g（x）=f（x）+f′（x）+ax²，若函数g（x）在区间（-1，1）有极值，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=-3时，，
∴f'（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）．令f'（x）=0，得 x₁=-1，x₂=3．
当x＜-1时，f′（x）＞0，则f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
当-1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）在（-1，3）上单调递减；
当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上单调递增；
∴当x=-1时，f（x）取得极大值为：f（-1）=；
当x=3时，f（x）取得极小值为：=-6．
（2）∵
问题转化为方程g′（x）=0在区间（-1，1）内有解，
∴g′（-1）•g′（1）＜0或
解得a＜-1或a＞，
故a的取值范围为：（-∞，-1）∪（，+∞）．
（3）∵f'（x）=x²-2x+a，∴△=4-4a=4（1-a）．
①若a≥1，则△≤0，∴f'（x）≥0在R上恒成立，
∴f（x）在R上单调递增．∵f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
②若a＜1，则△＞0，
∴f'（x）=0有两个不相等的实数根，不妨设为x₁，x₂，（x₁＜x₂）．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=a．
当x变化时，f′（x），f（x）的取值情况如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∵，
∴．∴===，
同理f（x₂）=．
∴=
==．
令f（x₁）•f（x₂）＞0，解得a＞0．
而当0＜a＜1时，f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．
分析：（1）当a=-3时，求出导函数f′（x）的零点，然后判断导数在零点两侧的符号，由此可得极值情况；
（2）g（x）在区间（-1，1）有极值，即g′（x）=0在（-1，1）内有解，且在解的两侧导数异号；
（3）函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，即函数f（x）只有一个零点，用导数研究函数f（x）的单调性、极值，由零点存在的条件可得关于a的约束条件，由此可求其范围．
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，可导函数f（x）在点x₀处取得极值的充要条件是f′（x₀）=0，且f′（x）在x₀左右两侧异号．