Question

【题目】已知函数，其中.

（Ⅰ）讨论函数极值点的个数；

（Ⅱ）若函数有两个极值点，其中且，是否存在整数使得不等式

恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由.（参考数据： ）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）或.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得，令，讨论，结合单调性可得解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 是方程的两根，所以，可得，令，设（），可得，即，进而得所以，求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）由得， .

①当时，即， ，所以为增函数，没有极值点.

②当时，即或，由得

若，则，当时， ，即，所以为

增函数，没有极值点,若，则，当变化时， 与的变化情况如下表：

所以函数有两个极值点综上可知：当时， 极值点的个数为；当时， 极值点的个数为

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 是方程的两根，所以.

令，因为，所以，设（）

因为所以在上为减函数，所以，因为

所以，即.

因为，所以

所以，解得因为，所以，又因为，所以或

所以存在整数或使得不等式恒成立.