Question

已知双曲线（a>0,b>0）的右准线一条渐近线交于两点P、Q，F是双曲线的右焦点。

（I）求证：PF⊥；

（II）若△PQF为等边三角形，且直线y=x+b交双曲线于A，B两点，且，求双曲线的方程；

（III）延长FP交双曲线左准线和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率e。

Answer 1

(1) 证明见解析

（2）双曲线方程为

（3）e= 

解析:

(1) 不妨设.

, F.(c,0)

设

k₂= ∴k₁k₂=－1.

即PF⊥. 

（2）由题

.       x²－bx－b²=0,

∴a=1, ∴双曲线方程为

（3）  y=－     M(－ 

   ∴N（－）.

又N在双曲线上。∴

∴e=