Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁+2x₁＜f（x₂）+2x₂）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=1时，求出导数f′（x），则切线斜率为f′（1），易求f（1），利用点斜式即可求得切线方程；
（2）易求f（x）的定义域是（0，+∞），解方程f′（x）=0可得x=

1

2

或x=

1

a

，按两根

1

2

、

1

a

的大小对a分类讨论解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得单调区间；
（3）设g（x）=f（x）+2x=ax²-ax+lnx，由题意知，g（x）在（0，+∞）上单调递增，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分a=0、a≠0两种情况讨论，转化为函数最值即可；

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+

1

x

，
因为f′（1）=0，f（1）=-2，所以切线方程是y=-2；
（2）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

2ax2-(a+2)x-1

x

（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）=

2ax2-(a+2)x-1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

=0，
所以x=

1

2

或x=

1

a

，
①当a＞2时，令f′（x）＞0得，x＞

1

2

或0＜x＜

1

a

，f′（x）＜0得

1

a

＜x＜

1

2

，
②当a=2时，f′（x）≥0恒成立，
③当0＜a＜2时，令f′（x）＞0得，x＞

1

a

或0＜x＜

1

2

，f′（x）＜0得

1

2

＜x＜

1

a

，
④a＜0时，令f′（x）＞0得0＜x＜

1

2

，f′（x）＜0得x＞

1

2

，
所以当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，

1

a

），（

1

2

，+∞）单调减区间为（

1

a

，

1

2

）；
当a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜2时，f（x）在（0，

1

2

），（

1

a

，+∞）上单调递增，在（

1

2

，

1

a

）上单调递减；
当a≤0时，f（x）在（0，

1

2

）上单调递增，（

1

2

，+∞）上单调递减．
（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²-ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可，
而g′（x）=2ax-a+

1

x

=

2ax2-ax+1

x

，
当a=0时，g′（x）=

1

x

＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
因为x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，
则需要a＞0，
对于函数y=2ax²-ax+1，过定点（0，1），对称轴x=

1

4

＞0，只需△=a²-8a≤0，即0＜a≤8，
综上，0≤a≤8．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想．