题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ +lnx
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）设a＞1，b＞0，求证： $数学公式$ ＜ln $数学公式$ ＜ $数学公式$ ．

（Ⅰ）解： $\text{[math]}$ ，a＞0，
因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以 $\text{[math]}$ 对x∈[1，+∞）恒成立，
即：ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，亦即 $\text{[math]}$ 对x∈[1，+∞）恒成立，
$\text{[math]}$ ，即a≥1．
故正实数a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅱ）证明：一方面，由（1）知， $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上是增函数，
所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
另一方面，设函数g（x）=x-lnx（x＞1），g′（x）=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0（x＞1），
所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，
又g（1）=1＞0，当x＞1时，g（x）＞g（1）＞0，所以x＞lnx，则ln $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
综上， $\text{[math]}$ ＜ln $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）求出f′（x），函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，则有f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，进而可转化为函数的最值问题解决；
（Ⅱ）根据f（x）在[1，+∞）上为增函数，可得f（ $\text{[math]}$ ）＞f（1），从而可证明 $\text{[math]}$ ；构造函数g（x）=x-lnx（x＞1），易判g（x）在（1，+∞）上是增函数，可得x＞1时g（x）＞g（1），由此可证明ln $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查导数与函数单调性的关系以及应用导数证明不等式问题．f′（x）≥0（不恒为0）是可导函数f（x）在某区间上递增的充要条件．