Question

如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE．
（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP平面EAB？请证明你的结论；
（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值．

Answer 1

解：（1）线段BC的中点就是满足条件的点P．证明如下：
取AB的中点F连接DP、PF、EF，则FPAC，，
取AC的中点M，连接EM、EC，
∵AE=AC且∠EAC=60°，
∴△EAC是正三角形，
∴EM⊥AC．
∴四边形EMCD为矩形，∴．
又∵EDAC，
∴EDFP且ED=FP，
四边形EFPD是平行四边形．
∴DPEF，
而EF平面EAB，DP平面EAB，
∴DP平面EAB．
（2）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，
∵EDAC，
∴EDl，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．
∵平面EAC⊥平面ABC，DC?AC，
∴DC⊥平面ABC，
又∵l平面ABC，∴l⊥平面DGC，
∴l⊥DG，
∴∠DGC是所求二面角的平面角．
设AB=AC=AE=2a，则，GC=2a，
∴，
∴．