Question

14．已知函数f（x）=2-8sin²x•cos²x（x∈R）．
（1）求函数y=f（x）的周期；
（2）在平面直角坐标系xOy中，将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位，得函数y=g（x）的图象，设h（x）=f（x）+g（x），求函数y=h（x），x∈[0，$\frac{π}{4}$]的最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos4x+1，由周期公式可得；
（2）由函数图象变换和三角函数公式可得h（x）=$\sqrt{2}$cos（4x+$\frac{π}{4}$）+2，由x的范围可得最小值．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2-8sin²x•cos²x
=2-2（2sinxcosx）²=2-2sin²2x=2-（1-cos4x）=cos4x+1，
∴函数y=f（x）的周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位，得函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=cos4（x+$\frac{π}{8}$）+1=cos（4x+$\frac{π}{2}$）+1=-sin4x+1
∴h（x）=f（x）+g（x）=cos4x+1-sin4x+1=$\sqrt{2}$cos（4x+$\frac{π}{4}$）+2
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴4x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，∴cos（4x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴当cos（4x+$\frac{π}{4}$）=-1时，函数h（x）取最小值2-$\sqrt{2}$

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及函数图象变换和三角函数的周期性和最值，属中档题．