Question

【题目】如图,四棱锥的底面是正方形, 平面,,点是上的点,且 .

（1）求证:对任意的 ,都有.

（2）设二面角C-AE-D的大小为 ,直线BE与平面所成的角为 ,

若,求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）因为SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理只要证AC

⊥BD即可．（2）先找出θ计算出cosθ,再找到，求出点O到BE的距离，再求出sin,解

方程得到的值.

（1）证明：连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD．

∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE

（2）解：由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，

∵SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴SD⊥CD．

又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．

连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，

故∠CFD是二面角C﹣AE﹣D的平面角，即∠CFD=θ．

在Rt△ADE中，∵AD=a，DE=λa∴AE=a

从而DF==

在Rt△CDF中，tanθ==,所以.

过点B作EO的垂线BG，因为AC⊥平面BDE,所以AC⊥BG,

所以∠BEO就是直线BE与平面所成的角，

设点O到BE的距离为h,则由等面积得

所以，

因为,

所以.