Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=3，通项a_n与前n项和s_n之间满足2a_n=S_n•S_n-1（n≥2）．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}中的最大项．

Answer 1

解（1）由2a_n=S_n•S_n-1（n≥2），得2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1．
所以（n≥2），
所以是等差数列；
（2）由（1）知，，
所以，
当n=1时，a₁=3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=，
∴；
（3）由a₁，a₂，a₃及n≥3时a_n的单调性知：是最大项；
分析：（1）把2a_n=S_n•S_n-1（n≥2）中的a_n化为S_n-S_n-1，然后两边同除以S_n•S_n-1．结合等差数列定义可证；
（2）由（1）可求得S_n，根据即可求得{a_n}的通项公式；
（3）根据n≥3时a_n的单调性及前三项即可求得最大项；
点评：本题考查利用数列递推公式求数列通项、等差数列的定义及其判断等知识，属中档题．