Question

椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C2:-=1在第一象限内的图象上一点,直线AP,BP与椭圆C1分别交于C,D点,若S△ACD=S△PCD.

(1)求P点的坐标.

(2)能否使直线CD过椭圆C1的右焦点,若能,求出此时双曲线C2的离心率;若不能,请说明理由.

 

Answer 1

(1) P(2a,b) (2) 能， e'=，理由见解析

【解析】(1)设P(x,y)在双曲线上,则有b2x2-a2y2=a2b2　①,

∵A(-a,0),B(a,0),

∴PA的中点为C(,),

点C在椭圆上,代入椭圆方程,化简得

b2x2+a2y2-2ab2x=3a2b2　②

①+②:2b2x2-2ab2x=4a2b2,

∴x2-ax-2a2=0,(x+a)(x-2a)=0.

∵P在双曲线右支上,∴x+a≠0,则x=2a.

代入①:a2y2=3a2b2,P在第一象限,

∴y>0,y=b,得P(2a,b).

(2)由P(2a,b)及B(a,0)得PB:y=(x-a).

代入椭圆方程:

b2x2+a2·(x2-2ax+a2)=a2b2,

∴4b2x2-6ab2x+2a2b2=0.

2x2-3ax+a2=0,(2x-a)(x-a)=0.

∵x<a,∴x=,

从而y=(-)=-b,

得D(,-b).同理可得C(,b).

C,D横坐标相同,知CD⊥x轴.

如CD过椭圆右焦点F2(c,0),∴c=,即a=2c,

从而b2=a2-c2=a2.设双曲线半焦距为c',

则c'2=a2+b2=a2,∴e'=.

于是直线CD可通过椭圆C1的右焦点,此时双曲线C2的离心率为e'=.