题目内容
（2013•宁波模拟）直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R，S，如果|PF|=a，|QF|=b，M为RS的中点，则|MF|=（ ）
分析：分PQ⊥x轴，和PQ与x轴不垂直两种情况，利用抛物线的定义、直角三角形斜边中线的性质、矩形的性质和勾股定理即可得出．
解答：解：①PQ与x轴不垂直时，如图所示，
由抛物线的定义可得|QF|=|QS|，|PF|=|PR|．
∴∠QFS=∠QSF，∠PFR=∠PRF，
由题意可得QS∥FG∥PR，∴∠SFG=∠QSF，∠RFG=∠PRF．
∴∠SFG+∠RFG=90°，∴|MF|=
|RS|．
过点P作PN⊥QS交于点N，则|PN|=|RS|．
在Rt△PQN中，|PN|=
=
=2
．
∴|MF|=
．
②当PQ⊥x轴时，也可|MF|=p=a=b=
．
综上可知：|MF|=
．
故选C．
由抛物线的定义可得|QF|=|QS|，|PF|=|PR|．
∴∠QFS=∠QSF，∠PFR=∠PRF，
由题意可得QS∥FG∥PR，∴∠SFG=∠QSF，∠RFG=∠PRF．
∴∠SFG+∠RFG=90°，∴|MF|=
| 1 |
| 2 |
过点P作PN⊥QS交于点N，则|PN|=|RS|．
在Rt△PQN中，|PN|=
| |PQ|2-|QN|2 |
| ((a+b)2-(b-a)2 |
| ab |
∴|MF|=
| ab |
②当PQ⊥x轴时，也可|MF|=p=a=b=
| ab |
综上可知：|MF|=
| ab |
故选C．
点评：熟练掌握抛物线的定义、直角三角形斜边中线的性质、矩形的性质和勾股定理、分类讨论的数学方法是解题的关键．
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