Question

已知点E（-2，0），F（2，0），曲线C上的动点M满足

ME

•

MF

=-3，定点A（2，1），由曲线C外一点P（a，b）向曲线C引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（Ⅰ）求线段PA的最小值；
（Ⅱ）若以P为圆心所作的⊙P与曲线C有公共点，试求半径取最小值时⊙P的标准方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出M的坐标，利用向量的数量积公式化简，可得曲线C的方程；求出P的坐标之间的关系，表示出线段PQ长，利用配方法可求PQ的最小值；
（Ⅱ）根据P为圆心所作的圆P与曲线C有公共点，确定半径的范围，利用配方法，即可求半径取最小值时圆P的标准方程．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），则

EM

=（x+2，y），

FM

=（x-2，y），
∴

EM

•

FM

=（x+2，y）•（x-2，y）=x²-4+y²=-3，
即M点轨迹（曲线C）方程为 x²+y²=1，
即曲线C是以原点为圆心的单位圆．
连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有：PQ²=OP²-OQ²．
又由已知PQ=PA，
故PQ²=PA²．
即：a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²，
化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a+b-3=0，即b=-2a+3．
∴PQ=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，
故当a=

6

5

时，PQ取得最小值为

2 5

5

 即线段PQ长的最小值为

2 5

5

．
（Ⅱ）设圆P的半径为R，则
∵圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，
∴|R-1|≤|OP|≤R+1，
即R≥|OP|-1且R≤|OP|+1．
而|OP|=

a2+b2

=

a2+(-2a+3)2

=

5(a- 6 5 )2+ 9 5

，
故当a=

6

5

时，|OP|_min=

3 5

5

．
此时b=-2a+3=

3

5

，R_min=

3 5

5

-1．
∴半径取最小值时圆P的标准方程为(x-

6

5

 )2+(y-

3

5

 )2=(

3 5

5

 -1)2．

点评：本题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查圆与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．