Question

曲线C是中心在原点，焦点为的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点E（2，0），若直线l与曲线C交于不同于点E的P，R两点，且，求证：直线l过一个定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）可设曲线C的方程为，由题意可得，a=2b，a²+b²=5，从而可求a，b，进而可求曲线C的方程
（2）设P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由，，由方程的根与系数关系及=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，代入可求得k，m之间的关系则直线l由直线方程的点斜式可求直线所过的定点；当直线l的斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，，由，代入可求
解答：解：（1）设曲线C的方程为
∵一条渐近线方程是，c=
∴a=2b，a²+b²=c²=5
∴a=2，b=1
故所求曲线C的方程是…（5分）
（2）设P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m
由，
此时1-4k²≠0
∴…（7分）
由
=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
∴（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
（1+k²）•+（km-2）•+m²+4=0
整理有…（10分）
当m=-2k时，直线L过点E，不合题意
当m=-，则直线l的方程为
则直线l过定点（）…（12分）
②当直线l的斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，
由，
有
从而有．此时直线L过点
故直线l过定点…（15分）
点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，向量的坐标表示的应用，属于直线与曲线位置关系的综合应用，属于综合性试题．