Question

【题目】已知直线上有一个动点，过点作直线垂直于轴，动点在上，且满足（为坐标原点），记点的轨迹为.

（I）求曲线的方程；

（II）若直线是曲线的一条切线，当点到直线的距离最短时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ｉ）；（II）.

【解析】试题分析：（I）设点，点，则由可得曲线的轨迹方程；（II）直线的斜率存在，设直线的方程为，联立曲线的方程，消去得， 可得，利用点到直线的距离公式和基本不等式求得时，点到直线的距离最短，此时，即可得直线的方程.

试题解析：

（I）设点，点，

因为，所以，即，

当时， 三点共线，不合题意，故，

所以曲线的方程为；

（II）直线与曲线相切，所以直线的斜率存在，

设直线的方程为，

由，得，

直线与曲线相切，

，

点到直线的距离

，

当且仅当时等号成立，此时，

所以直线的方程为.