Question

设定在R上的函数f（x）满足：f(tanx)=

1

cos2x

，则f(2)+f(3)+…+f(2013)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

2013

)=

0

．

Answer 1

分析：由已知中f(tanx)=

1

cos2x

，根据万能公式，可得f（x）=

1+x2

1-x2

，进而可得f（x）+f（

1

x

）=0，进而可得答案．

解答：解：∵f(tanx)=

1

cos2x

=

1+tan2x

1-tan2x

∴f（x）=

1+x2

1-x2

，f（

1

x

）=

1+( 1 x )2

1-( 1 x )2

=

x2+1

x2-1

=-

1+x2

1-x2

∴f（x）+f（

1

x

）=0
∴f(2)+f(3)+…+f(2013)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

2013

)=0
故答案为：0

点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，其中根据已知求出f（x）=

1+x2

1-x2

是解答的关键．