题目内容
设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）．y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f(
)=
，α∈(0，π)，试求f(α+
)的值．
| π |
| 8 |
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f(
| α |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 5π |
| 8 |
分析：（1）根据x=
是函数y=f（x）的图象的对称轴，求得sin(2×
+?)=±1，再根据?的范围求出?的值，即可求得函数的解析式．
（2）由f(
)=
，α∈(0，π)，求得sin（α-
） 和cos（α-
）的值，利用两角和的正弦公式求得sinα的值，再利用二倍角公式求得f(α+
)=sin[2(α+
)-
]=cos2α 的值．
| π |
| 8 |
| π |
| 8 |
（2）由f(
| α |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 5π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
| 3π |
| 4 |
解答：解：（1）∵x=
是函数y=f（x）的图象的对称轴，
∴sin(2×
+?)=±1，∴
+?=kπ+
，k∈Z，…（2分）
∵-π＜?＜0，∴?=-
，…（4分）
故f(x)=sin(2x-
)…（6分）
（2）因为f(
)=
，α∈(0，π)，
所以sin(α-
)=
，cos(α-
)=
．…（8分）
故sinα=sin[(α-
)+
]=sin(α-
)•cos
+cos(α-
)•sin
=
(
-
)=
．…（11分）
故有 f(α+
)=sin[2(α+
)-
]=sin(2α+
)=cos2α
=1-2sin2α=1-2(
)2=
．…（14分）
| π |
| 8 |
∴sin(2×
| π |
| 8 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∵-π＜?＜0，∴?=-
| 3π |
| 4 |
故f(x)=sin(2x-
| 3π |
| 4 |
（2）因为f(
| α |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
所以sin(α-
| 3π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 3π |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
故sinα=sin[(α-
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
=
| ||
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| ||
| 10 |
故有 f(α+
| 5π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 2 |
=1-2sin2α=1-2(
| ||
| 10 |
| 24 |
| 25 |
点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
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