Question

已知函数.

（1）若函数在区间上有极值，求实数的取值范围；

（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；

（3）当，时，求证：.

 

Answer 1

【答案】

(1) 

(2) 

(3)根据数列的求和来放缩法得到不等式的证明关键是对于的运用。

【解析】

试题分析：解：（1），   

当时，；当时，；

函数在区间（0，1）上为增函数；在区间为减函数   3分

当时，函数取得极大值，而函数在区间有极值.

，解得.        5分

（2）由（1）得的极大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：.            10分

（另解：，，

令，所以，当时，

当时，；当时，

当时，函数取得极大值为

当方程有实数解时，.）

（3）函数在区间为减函数，而，

，即                     

   12分

即，

而，结论成立.    16分

考点：导数的运用

点评：根据导数的符号判定函数的单调性，是解决该试题的关键，同时能结合函数与方程的思想求解方程的根，属于中档题。