题目内容

已知函数 $数学公式$ 的最小正周期为π，且在 $数学公式$ 处取得最大值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，求角B．

解：（Ⅰ）∵f（x）的最小正周期为π，
∴ $\text{[math]}$ =π，即ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
又点（ $\text{[math]}$ ，2）在函数图象上，得sin（ $\text{[math]}$ +φ）=1，
∵|φ|＜ $\text{[math]}$ ，∴φ= $\text{[math]}$ ，
则f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）；
（Ⅱ）由sinA+sinC= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），得sinA+sinC= $\text{[math]}$ sinB，
由正弦定理得：a+c= $\text{[math]}$ b，又ac= $\text{[math]}$ b²，
由余弦定理得：cosB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵0＜B＜π，∴B= $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由已知函数的周期，利用三角函数的周期公式求出ω的值，再由函数在 $\text{[math]}$ 处取得最大值，得到点（ $\text{[math]}$ ，2）在函数图象上，将此点代入函数解析式中确定出φ的值，即可确定出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用第一问确定出的函数解析式化简已知的等式sinA+sinC= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），再利用正弦定理变形，表示出a+c，利用余弦定理表示出cosB，将表示出的a+c及ac代入，化简后得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角函数y=Asin（ωx+φ）解析式的确定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．