Question

单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BC，CD中点，平面A₁EF交BB₁于M，交DD₁于N
（1）画出几何体A₁MEFN-ABEFD的直观图与三视图；
（2）设AC中点为O，在CC上存在一点G，使

CG

=λ

CC1

，且OG⊥平面A₁EF，求λ；
（3）求A₁C与平面A₁EF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据题目条件可画出几何体的直观图，以及根据三视图的画法画出左视图、正视图、俯视图即可；
（2）选择A为坐标原点，AB，AD，AA所在直线为x，y，z轴，求出向量

OG

与

A1E

，然后根据

OG

⊥

A1E

建立等式，可求出λ的值．
（3）由（2）知平面A₁EF的一个法向量是

OG

，求出向量

A1C

，利用向量的夹角公式可求出A₁C与平面A₁EF所成角的正弦值．

解答：解：（1）几何体的直观图如下左图，三视图如下右图

（2）选择A为坐标原点，AB，AD，AA₁所在直线为x，y，z轴，则E（1，0.5，0），F（0.5，1，0），A₁（0，0，1），G（1，1，λ），O（0.5，0.5，0），
∴

OG

=（0.5，0.5，λ），

A1E

=（1，0.5，-1），
∵OG⊥平面A₁EF，A₁E?平面A₁EF
∴

OG

⊥

A1E

∴0.5+0.25-λ=0，解得λ=0.75
（3）由（2）知，平面A₁EF的一个法向量是

OG

=（0.5，0.5，0.75），

A1C

=（1，1，-1）
A₁C与平面A₁EF所成角的正弦值为sinθ=

OG . A1C

| OG || A1C |

=

51

51

点评：本题主要考查了直线与平面所成的角，以及空间几何体的直观图和三视图，利用空间向量法求解所成角是常用的方法，属于中档题．