Question

19．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意实数都有a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）求f（0）；
（2）证明：函数y=f（x）是奇函数；
（3）证明：函数y=f（x）是R上的减函数．

Answer 1

分析 （1）令a=b=0，即可求出．
（2）令a=x，b=-x，得到f（-x）=-f（x），即可得证；
（3）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，由条件得f（x₂-x₁）＜0，再由条件可得f（x₂）＜f（x₁），即可得证．

解答 解：（1）f（0）=2f（0），则f（0）=0．
（2）令a=x，b=-x，
则f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数y=f（x）是奇函数；
（3）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
当x＞0时，f（x）＜0恒成立，则f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）+f（x₂-x₁）=f（x₂）＜f（x₁），
∴函数y=f（x）是R上的减函数．

点评 本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性，奇偶性，关键是赋值，属于基础题．