Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，、分别是线段、的中点，．

（1）证明：平面；

（2）设点是线段的中点，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；

（2）以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，然后利用空间向量法可求出二面角的余弦值.

（1）取的中点为，连接、，如图：

四边形为正方形，、、分别是线段、、的中点，

且，且，，

四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面；

（2）平面，四边形是正方形，、、两两垂直，

以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、、，

，，，

设平面的法向量为，则，

取，则，，则平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，则，

取，则，，则平面的一个法向量为.

，

由图形可知，二面角为锐角，其余弦值为.