Question

已知E，F分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC和CD的中点，求：
（1）A₁D与EF所成角的大小；
（2）A₁F与平面B₁EB所成角；
（3）二面角C-D₁B₁-B的大小．

Answer 1

分析：因为是正方休，又是空间角问题，所以易采用向量法，所以建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，（1）先求得相关点的坐标，再求得相关向量

A1D

=(-1，0，-1)，

EF

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，及其模|

A1D

|=

(-1)2+0+(-1)2

=

2

|

EF

|=

(- 1 2 )2+(- 1 2 )2+0

=

2

2

再用向量的夹角公式求解．
（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因为AB⊥平面B₁C₁CB，所以

AB

是平面B₁EB的法向量，再用向量的夹角公式求解．
（3）先分别求得两个半平面的一个法向量，然后利用向量的夹角公式求解二面角．

解答：解：不妨设正方体的棱长为1，以

DA

，

DC

，

DD1

为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），C₁（0，1，1），E（

1

2

，1，0），F（0，

1

2

，0）（1）因为

A1D

=(-1，0，-1)，

EF

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，
所以|

A1D

|=

(-1)2+0+(-1)2

=

2

|

EF

|=

(- 1 2 )2+(- 1 2 )2+0

=

2

2

A1D

•

EF

=

1

2

+0+0=

1

2

可知向量

A1D

与

EF

的夹角为60°
因此A₁D与EF所成角的大小为60°
（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因为AB⊥平面B₁C₁CB，所以

AB

是平面B₁EB的法向量
因为

AB

=(1，1，0)-(1，0，0)=(0，1，0)

A1F

=(0，

1

2

，0)-(1，0，1)=(-1，

1

2

，-1)
所以|

AB

|=1，|

A1F

|=

3

2

，

A1F

•

AB

=

1

2

，
由cos＜

A1F

，

AB

＞=

1

3

，
所以可得向量之间的夹角约为：19.47°
（3）因为AC₁⊥平面B₁D₁C，所以

AC1

是平面B₁D₁C的法向量，因为

AC1

=(-1，1，1)，

AC

=(-1，1，0)，|

AC1

|=

3

，|

AC

|=

2

，

AC1

•

AC

=2
所以cos＜

AC1

，

AC

＞=

6

3

，所以可得两向量的夹角为35.26°
根据二面角夹角相等或互补可知，二面角约为：35.26°

点评：本题主要考查向量法在求空间角中的应用，在研究空间角时，要首选向量法，方便灵活，是常考类型，属中档题．