Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0，f′（x）为f（x）的导函数，g（x）=a•e^x（a，b，c∈R）．
（1）求b，c的值；
（2）若存在x₀∈（0，2]，使g（x₀）=f′（x₀）成立，求a的范围．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=3x²+2bx+c，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-（1+b+c）=（3+2b+c）（x-1），
即y=（3+2b+c）x-2-b，
∴，即，
∴．
（2）若存在x₀∈（0，2]使成立，
即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，
∴a•e^x=3x²-3x+3，
∴，
令，
∴
=
=-，
令h′（x）=0，得x₁=1，x₂=2，列表讨论：

x	（0，1）	1	（1，2）	2
h′（x）	-	0	+	0
h（x）	↓	极小值	↑	极大值

∴h（x）有极小值h（1）=，h（x）有极大值h（2）=，
且当x→0时，h（x）→3＞，
∴a的取值范围是．
分析：（1）由f′（x）=3x²+2bx+c，知f（x）在x=1处的切线方程为y=（3+2b+c）x-2-b，故，由此能求出f（x）．
（2）若存在x₀∈（0，2]使成立，即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，故，令，则=-，由此能求出a的取值范围．
点评：本题考查实数值和实数取值范围的求法，具体涉及到导数的应用、函数极值的求法和应用、切线方程的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．