题目内容

如图， $数学公式$ 的大小是 $数学公式$ 大小的k倍， $数学公式$ 的方向由 $数学公式$ 的方向逆时针旋转θ角得到，则我们称 $数学公式$ 经过一次（θ，k）延伸得到 $数学公式$ ．已知 $数学公式$
（1）向量 $数学公式$ 经过2次 $数学公式$ 延伸，分别得到向量 $数学公式$ 、 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 、 $数学公式$ 的坐标．
（2）向量 $数学公式$ 经过n-1次 $数学公式$ 延伸得到的最后一个向量
为 $数学公式$ ，（n∈N^*，n＞1），设点A_n（x_n，y_n），求A_n的极限位置 $数学公式$
（3）向量 $数学公式$ 经过2次（θ，k）延伸得到向量 $数学公式$ 、 $数学公式$ ，其中k＞0，θ∈（0，π），若 $数学公式$ 、 $数学公式$ 、 $数学公式$ 恰能够构成一个三角形（即A₃与O重合），求θ，k的值．

解：（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…
因为 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
所以，A $\text{[math]}$
（3） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
又∵ $\text{[math]}$
∴（1+kcosθ+k²cos2θ，ksinθ+k²sin2θ）=（0，0）
∴ $\text{[math]}$
解得：k=1，θ=120°
分析：（1）向量 $\text{[math]}$ 经过1次 $\text{[math]}$ 延伸，得到向量 $\text{[math]}$ 所在有向线段正向与y轴正向相同，且模为 $\text{[math]}$ ，A2（1， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，类似的，求出 $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ ，利用向量运算求出表达式，得出x_n，y_n再求极限．
（3）若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 恰能够构成一个三角形，即 $\text{[math]}$ ，建立关于的方程组，再解方程组即可．
点评：本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，极限运算，方程的思想．