Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=b₁，且对任意n∈N*都有a_n+b_n=1，，
（Ⅰ）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（Ⅱ）证明：。

Answer 1

（Ⅰ）解：数列为等差数列；
理由如下：
∵对任意n∈N*都有a_n+b_n=1，，
∴，
∴
∴数列是首项为，公差为1的等差数列．
（Ⅱ）证明：∵a₁=b₁，且a₁+b₁=1，
∴，
由（Ⅰ）知，
∴，
所证不等式，即，
也即证明，
令（x＞1），则，
再令，则g′（x）=，
当x＞1时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即，
∴当x＞1时，，
∴函数在（1，+∞）上单调递减，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴成立。