题目内容

已知函数f(x)＝．

(1)判断f(x)的单调性，并加以证明．

(2)求f(x)的反函数．

答案：
解析：

(1)∵x∈R时，2x＋1＞0恒成立．

∴f(x)的定义域是R．

f(x)在R上是增函数，证明如下：

设x1，x2∈R，且x1＜x2，则0＜2x1＜2x2

∴f(x1)－f(x2)＝

＝

＝．

∵2x1－2x2＜0，2x1＋1＞0，2x2＋1＞0

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)

∴f(x)在R上是增函数．

(2)由y＝，解得2x＝

∵2x＞0，∴＞0，即 －1＜y＜1

∴x＝log2 (－1＜y＜1)

∴f(x)的反函数为

f－1(x)＝log2 (－1＜x＜1＝．


练习册系列答案
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(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a为正数)．
(1) 若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；
(2) 求f(x)的单调区间；
(3) 设g(x)＝x2－2x，若对任意的x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)＜g(x2)，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是(　　)

A．f(1)≥25         B．f(1)＝25     C．f(1)≤25         D．f(1)>25

 

已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝                 (　　)

A．－1                      B.

C．－1或                 D．1或－

 

  已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(x)＝x无实根，下列命题中：

    （1）方程f [f (x)]＝x一定无实根；

    （2）若a＞0，则不等式f [f (x)]＞x对一切实数x都成立；

    （3）若a＜0，则必存在实数x0，使f [f (x0)]＞x0；

    （4）若a＋b＋c＝0，则不等式f [f (x)]＜x对一切x都成立；

    正确的序号有          ．              

 

已知函数f(x)＝|lg(x－1)|－()x有两个零点x1，x2，则有

A．x1x2<1　　　　B．x1x2<x1＋x2

C．x1x2＝x1＋x2　　　　D．x1x2>x1＋x2

 

 

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