题目内容

已知
a
=(2sinωx，cosωx+sinωx)，
b
=(cosωx，cosωx-sinωx)，（ω＞0），
函数f(x)=
a
•
b
，且函数f（x）的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，
π
2
]上的单调区间．
分析：（1）根据向量的坐标运算表示出函数f（x），再由最小正周期确定ω的值即可．
（2）由三角函数求单调区间的整体思想即可得到答案．
解答：解：（I）f(x)=
a
•
b
=(2cosωxsinωx)2+(cosωx+sinωx)(cosωx-sinωx)
=sin2ωx+cos2ωx
=
2
sin(2ωx+
π
4
)
因为函数f（x）的最小正周期为π，
所以
2π
2ω
=π?ω=1∴f(x)=
2
sin(2x+
π
4
)
（2）∵f(x)=
2
sin(2x+
π
4
)
当-
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
π
2
+2kπ时-
3π
8
+kπ≤x≤
π
8
+kπ
因为x∈[0，
π
2
]，∴0≤x≤
π
8

故函数f（x）的增区间为：[0，
π
8
]
同理可得函数f（x）的减区间为：[
π
8
，
π
2
]
点评：本题主要考查向量的坐标运算和三角函数求单调区间的问题．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=(2sin(x+
θ
2
)，
3
)，
b
=(cos(x+
θ
2
)，2cos2(x+
θ
2
))，f(x)=
a
•
b
-
3

（1）求f（x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ，使f（x）为偶函数；
（3）在（2）的条件下，求满足f（x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．
已知
a
=(2sinωx，cosωx)，
b
=(
3
cosωx，2cosωx)(ω＞0)，f(x)=
a
•
b
，f(x)图象相邻两条对称轴间的距离为
π
2
．
（1）求ω的值；
（2）当x∈[0，
π
2
]时，求f（x）的值域．
已知
a
=(2sinθ，1)，
b
=(1，-2cosθ)，-
π
4
＜θ＜
3π
4
．
（1）若θ=
π
2
，求|
a
-
b
|；
（2）若
a
⊥
b
，求θ．
已知
a
=(2sinωx，cosωx+sinωx)，
b
=(cosωx，cosωx-sinωx)，（ω＞0），
函数f(x)=
a
•
b
，且函数f（x）的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，
π
2
]上的单调区间．

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