Question

设函数f(x)=

1，(1≤x≤2) x-1，(2＜x≤3)

，g（x）=f（x）-ax，x∈[1，3]，其中a≥0．记函数g（x）的最大值与最小值的差为h（a），求h（a）的表达式并求h（a）的最小值．

Answer 1

分析：由已知可求出g（x）的解析式，分类讨论出函数在各段上的单调性，进而求出函数的最值的表达式，进而可得h（a）的表达式，进而可求出h（a）的最小值．

解答：解：g(x)=

1-ax(1≤x≤2) (1-a)x-1(2＜x≤3)

当1≤x≤2时，g（x）_max=1-a，g（x）_min=1-2a（2分）
当2≤x≤3时，若0≤a≤1，则g（x）在[2，3]上递增，
g（x）_max=2-3a，g（x）_min=1-2a（4分）
当a＞1时，则g（x）在[2，3]上递减，
g（x）_max=1-2a，g（x）_min=2-3a（6分）
∴0≤a≤

1

2

时，g(x)max=2-3a，g(x)min=1-2a
当

1

2

≤a≤1时，g(x)max=1-a，g(x)min=1-2a
当a≥1时，g（x）_max=1-a，g（x）_min=2-3a（9分）
∴h(a)=

1-a，0≤a≤ 1 2 a， 1 2 ＜a＜1 2a-1，a≥1

（12分）
当a=

1

2

时，h（a）取最小值为

1

2

（14分）

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，分段函数，其中分段函数分段处理是解答此类问题的常用方法．