Question

(14分) 已知等差数列{a_n}的首项a₁＝1，公差d＞0，且第二项、第五项、

第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n＝（n∈N^*），S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n，求S_n ；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S_{n ，}是否存在实数t，使得对任意的n均有：

成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

(14分) 解：（Ⅰ）由题意得（a₁＋d）（a₁＋13d）=（a₁＋4d）²，

整理得2a₁d＝d²．

∵a₁＝1，解得（d＝0舍），d＝2． 

∴a_n＝2n－1（n∈N^*）． 

（Ⅱ）b_n＝＝＝（－），

∴S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝［（1－）＋（－）＋…＋（－）］

＝（1－）＝． 

（Ⅲ）假设存在整数t满足总成立.

得，而，即，

∴适合