Question

设数列{a_n}是以(

x

-

1

x

)6展开式的常数项为首项，并且以椭圆3x²+4y²-6x-9=0的离心率为公比的无穷等比数列，

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)为

-40

．

Answer 1

分析：利用二项式展开式的通项公式求出a₁=-20，再求出椭圆的离心率为

1

2

，求出此等比数列的前n项和，利用数列极限的运算法则求出结果．

解答：解：∵(

x

-

1

x

)6展开式的通项T_r+1=C₆^r 

x

6-r (-

x

)-r=(-1)r

C

6 r

 x

6-2r

2

，
令r=3 可得常数项为-20，即a₁=-20．
 椭圆3x²+4y²-6x-9=0即

(x-1)2

4

+

y2

3

=1，离心率为

1

2

，故数列{a_n} 的公比的等于

1

2

．
此等比数列的前n项和为 a₁+a₂+…+a_n=

-20[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=-40（1-

1

2n

 ）．
∴

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

lim

n→∞

-40( 1-

1

2n

)=-40，
故答案为：-40．

点评：本题考查求二项式展开式的某项的系数，椭圆的简单性质，等比数列的前n项和公式，以及数列极限的运算法则，求出 a₁+a₂+…+a_n=-40（1-

1

2n

 ），是解题的关键和难点．