Question

设数列{a_n}是以a为首项，t为公比的等比数列，令b_n=1+a₁+a₂+…+a_n，c_n=2+b₁+b₂+…+b_n，n∈N
（1）试用a，t表示b_n和c_n
（2）若a＞0，t＞0且t≠1，试比较c_n与c_n+1（n∈N）的大小
（3）是否存在实数对（a，t），其中t≠1，使得{c_n}成等比数列，若存在，求出实数对（a，t）和{c_n}；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）注意到b_n=1+a₁+a₂+…+a_n除 首项，其余是数列{a_n} 各项，按照等比数列求和公式可表示出b_n，再去求c_n．注意对公比t是否为1进行讨论．
（2）cn+1-cn=bn+1=1+

a

1-t

-

atn+1

1-t

=1+

a

1-t

(1-tn+1)，由此再判判断．
（3）cn=2-

at

(1-t)2

+

1-t+a

1-t

n+

atn+1

1-t2

，若成等比数列，根据通项公式特点须

2- at (1-t)2 =0 1-t+a 1-t =0

研究方程组解得情况，做出判断．

解答：解：（1）当t=1时，a_n=a₁=a，b_n=1+na，cn=2+

n(2+a+na)

2

当t≠1时，a_n=at^n-1，bn=1+

a(1-tn)

1-t

=1+

a

1-t

-

atn

1-t

∴cn=2+(1+

a

1-t

)n-

a

1-t

•

t(1-tn)

1-t

=2-

at

(1-t)2

+

1-t+a

1-t

n+

atn+1

(1-t)2

（2）cn+1-cn=bn+1=1+

a

1-t

-

atn+1

1-t

=1+

a

1-t

(1-tn+1)
当t＞1时，1-t＜0，1-tⁿ⁺¹＜0，而已知a＞0，∴

a

1-t

(1-tn+1)＞0∴c_n+1-c_n＞0
同理当0＜t＜1时，1-t＞0，1-tⁿ⁺¹＞0，而已知a＞0，∴

1

1-t

(1-tn+1)＞0∴c_n+1-c_n＞0
综上所述c_n+1＞c_n
（3）若cn=2-

at

(1-t)2

+

1-t+a

1-t

n+

atn+1

1-t2

成等比数列，则令

2- at (1-t)2 =0，(1) 1-t+a 1-t =0，(2)

由（2），得a=t-1代入（1），得2+

t

1-t

=0∴t=2，a=1
此时c_n=2ⁿ⁺¹=4×2^n-1
所以存在实数对（a，t）为（1，2），使得{c_n}成为以4为首项，2为公比的等比数列．

点评：本题考查等差、等比数列求和，代数式大小比较，方程组求解问题，考查计算、转化，分类讨论等思想方法和能力．