Question

设a₁，a₂，…，a_n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列．
（1）若n=4，则=    ；
（2）所有数对（n，）所组成的集合为    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）当n=4时，a₁，a₂，a₃，a₄中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项不可能成等比数列，再考虑分别删去a₂，a₃，即可得到结论；
（2）设出数列的公差d，列举出数列的各项，讨论从第一项开始删去，由得到的数列为等比数列，利用等比数列的性质，列出关于d与首项的方程，求出方程的解即可得到d的值，根据d不为0，得到满足题意的d的值，即可求出满足题意的所有数对，组成集合的形式即可．
解答：解：（1）当n=4时，a₁，a₂，a₃，a₄中不可能删去首项或末项，否则由连续三项成等比数列，可推出d=0．
若删去a₂，则a₃2=a₁•a₄，即（a₁+2d）²=a₁•（a₁+3d）化简得a₁+4d=0，得=-4
若删去a₃，则a₂²=a₁•a₄，即（a₁+d）²=a₁•（a₁+3d）化简得a₁-d=0，得=1
综上，得=-4或=1．
（2）设数列{a_n}的公差为d，则各项分别为：a₁，a₁+d，a₁+2d，…，a₁+（n-1）d，且a₁≠0，d≠0，
假设去掉第一项，则有（a₁+d）（a₁+3d）=（a₁+2d）²，解得d=0，不合题意；
去掉第二项，有a₁（a₁+3d）=（a₁+2d）²，化简得：4d²+a₁d=0即d（4d+a₁）=0，解得d=-a₁，
因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a₁+4d=0），所以数对（n，）=（4，-4）；
去掉第三项，有a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²，化简得：d²-a₁d=0即d（d-a₁）=0，解得d=a₁，
则此数列为：a，2a，3a，4a，…此数列仍然不会出现第五项，
因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对（n，）=（4，1）；
去掉第四项时，有a₁（a₁+2d）=（a₁+d）²，化简得：d=0，不合题意；
当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即d=0，不合题意．
所以满足题意的数对有两个，组成的集合为{（4，-4），（4，1）}．
故答案为：-4，1；{（4，-4），（4，1）}
点评：本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，是一道难题．