Question

已知函数f（x）＝（1＋x）²－4a lnx（a∈N﹡）．
（Ⅰ）若函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）＝x²－x＋b在区间[1，e]上恰有一个实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

⑴；⑵或为所求．

试题分析：⑴由题意，函数的定义域为
由 
知对恒成立，记
由于函数在上是增函数，故,所以
又，所以为所求．                         5分
⑵由题知，整理得
记，则
注意到，故函数在上单调递减，在上单调递增．
由知，
所以关于的方程在区间上恰有一个实根 时
或为所求．
点评：近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合