Question

已知数列满足（）．
（1）若数列是等差数列，求它的首项和公差；
（2）证明：数列不可能是等比数列；
（3）若，（），试求实数和的值，使得数列为等比数列；并求此时数列的通项公式．

Answer 1

（1）首项为，公差为，（2）详见解析，（3），，.

解析试题分析：（1）求特殊数列（等差数列或等比数列）通项的基本方法就是待定系数法.本题中只需确定公差与首项，即只需列出两个独立条件就可解出. 由已知，，若是等差数列，则，即，得，， 故．所以，数列的首项为，公差为．（2）证明数列不可能是等比数列，宜从反面出发推出矛盾即可. 假设数列是等比数列，则有，解得，从而，，又．，，，不成等比数列，与假设矛盾，（3）本题也可同（1）一样用待定系数法解，即需列出三个独立条件，解出参数但运算量较大，故考虑用方程恒等，系数对应相等方法求解. 由化简得，所以， 再由数列通项可得.
试题解析：解（1）由已知，，
若是等差数列，则，即，
得，， 故．
所以，数列的首项为，公差为． （5分）
（2）假设数列是等比数列，则有，
即，
解得，从而，，
又．
因为，，，不成等比数列，与假设矛盾，
所以数列不是等比数列．     （10分）
（3）由题意，对任意，有（为定值且），
即．
即，
于是，，
所以，
所以，当，时，数列为等比数列．
此数列的首项为，公比为，所以