Question

如图，已知四棱锥S—ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD中点，Q为SB中点，（1）求证：PQ∥平面SCD；（2）求二面角B—PC—Q的正切值的大小。（13分）

 

Answer 1

【答案】

（1）作QE∥BC交SC于E，连DE得四边形PQED，由QEBC ，PDBCPQED为平行四边形PQ∥DEPQ∥平面SCD（2）

【解析】

试题分析：（1）证明：作QE∥BC交SC于E，连DE得四边形PQED

由QEBC ，PDBCPQED为平行四边形PQ∥DE，

DE平面SCDPQ∥平面SCD.

（2）作出PB中点F，连结QF， ∴QFSP

由于SP⊥AD，平面SAD⊥平面ABCDSP⊥平面ABCD，

QF∥SPQF⊥平面ABCD.

再作FG⊥PC，连QG，FC，则∠QGF为所求二面角的大小。

在Rt△GFQk ,QF=SP=

在△PFC中， 

PC²=PD²+CD²－2PD·CD·cos120°= ∴GF=   ∴tan∠QGF==

考点：空间线面平行的判定及二面角的求解

点评：第一问要证明线面平行转化为证明线线平行，第二问首先由三垂线定理作出二面角的平面角而后求解。此题还可以采用空间向量的方法证明计算，以P为原点PB,PD,PS为坐标轴建立空间直角坐标系