Question

如图,底面是正三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,D、E、F分别是BC、CA、AA₁的中点,AA₁=AB=4.

(Ⅰ)求证:EF∥平面AB₁D;

(Ⅱ)求三棱锥B₁-AA₁D的体积.

Answer 1

 (Ⅰ)连接A₁B交AB₁于O,连接OD,在△BA₁C中,O为BA₁中点,D为BC中点,∴OD∥A₁C.  

又∵E、F分别为CA、AA₁的中点,∴EF∥A₁C,因此EF∥OD.

∵OD⊂平面AB₁D,EF⊄平面AB₁D,

∴EF∥平面AB₁D.                                                           

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,OD∥A₁C,∵OD⊂平面AB₁D,A₁C⊄平面AB₁D,∴A₁C∥平面AB₁D,∴点A₁到平面AB₁D的距离等于点C到平面AB₁D的距离,                                                                   

∵S_△ADC=S_△ABC=2 ,∴ =×4×2 .