Question

（2013•黄埔区一模）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点．
（1）求异面直线EF与BC所成的角；
（2）求三棱锥C-B₁D₁F的体积．

Answer 1

分析：（1）分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与BC所成的角．
（2）先求出S△B1D1C，再由向量法求出点F到平面D₁B₁C的距离，由此能求出三棱锥C-B₁D₁F的体积．

解答：解：（1）分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
∵在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点，
∴E（0，0，1），F（1，1，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
∴

EF

=（1，1，-1），

BC

=（-2，0，0），
设异面直线EF与BC所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜

EF

，

BC

＞|=|

-2

3 ×2

|=

3

3

，
∴异面直线EF与BC所成的角为arccos

3

3

．
（2）∵在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点，
∴S△B1D1C=

1

2

×B1D1×B1C=

1

2

×2

2

×2=2

2

，
∵B₁（2，2，2），D₁（0，0，2），C（0，2，0），F（1，1，0），
∴

D1B1

=(2，2，0)，

D1C

=（0，2，-2），

D1F

=(1，1，-2)，
设平面D₁B₁C的法向量

n

=（x，y，z），则

n

•

D1B1

=0，

n

•

D1C

=0，
∴

2x+2y=0 x+y-2z=0

，解得

n

=（1，-1，0），
∴点F到平面D₁B₁C的距离d=

| n • D1C |

| n |

=

|0-2+0|

2

=

2

，
∴三棱锥C-B₁D₁F的体积V=

1

3

d×S△D1B1C=

1

3

×

2

×2

2

=

4

3

．

点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．