Question

在平面直角坐标系中，矩形纸片ABCD的长为4，宽为2．AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形纸片沿直线折叠，使点A落在边CD上，记为点A'，如图所示．
（1）设A'的坐标是（2a，2）（0≤a≤2），写出折痕所在直线的方程；
（2）若折痕经过B时，求折痕所在直线的斜率，并写出以折痕为直径的圆方程．

Answer 1

分析：（1）当a=0时，其折痕为线段OD的垂直平分线，由D和O的坐标求出线段OD的中点纵坐标，得到过中点且与y轴垂直的直线方程即为折痕所在的直线方程；当0＜a≤2时，根据对称性质得到线段A'A的中点在折痕上，且折痕与直线A'A垂直，由A和A'的坐标求出线段A'A的中点坐标，及直线A'A的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1求出折痕所在直线的斜率，由求出的中点坐标和斜率写出折痕所在的直线方程即可；
（2）把B的坐标代入（1）求出的折痕方程得到关于a的一元二次方程，求出方程的解得到a的值，进而得到折痕的斜率，进而确定出折痕所在直线的方程，求出折痕与y轴交点M的坐标，再利用中点坐标公式求出折痕中点N的坐标，即为圆心的坐标，由两点间的距离公式求出|MB|的长，即为圆的半径，由求出的圆心和半径写出圆的标准方程即可．

解答：解：（1）当a=0时，则“拆痕”所在的直线为线段AD的中垂线，它的方程为y=1．
当0＜a≤2时，则线段A'A的中点E是（a，1），直线A'A的斜率k_A'A=

1

a

，
从而折痕所在直线的斜率k=-a，
此时折痕所在直线的方程为ax+y-1-a²=0；
（2）若折痕经过B时，由a²-4a+1=0，
解得a=2+

3

（舍去），或a=2-

3

，
所以折痕所在直线的斜率为-2．
此时折痕与y轴的交点M的坐标为（0，8-4

3

），折痕中点N的坐标为（2，4-2

3

），
则MB²=4²+（8-4

3

）²=16（8-4

3

）．
所以折痕为直径的圆方程为（x-2）²+（y-4+2

3

）²=32-16

3

．

点评：此题考查了圆的标准方程，中点坐标公式，两点间的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，直线的一般式方程，以及两直线的交点坐标，其中第一问熟练掌握折叠性质是解题的关键，第二问根据题意求出M和N的坐标是解题的关键．