Question

过△ABC内部一点M任作一条直线EF，AD⊥EF于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，都有，则点M是△ABC的（ ）
A．三条高的交点
B．三条中线的交点
C．三边中垂线的交点
D．三内角平分线的交点

Answer 1

【答案】分析：设EF交AB，AC于G，H两点，因为要使，只需要（*），设，，
所以（*）化为（**），只要（**）成立，这样的M就满足条件．由此入手能够选出正确答案．
解答：解：设EF交AB，AC于G，H两点，
因为要使，
只需要（*），
设，，
所以（*）化为（**），
只要（**）成立，
这样的M就满足条件．
因为M在EF上，
所以=t+（1-t）=tλ+（1-t）μ，
当M是三条中线的交点，
所以tλ=，（1-t）μ=，，3t，
容易验证此时（**）成立，
所以M是三条中线的交点时，可以满足题目条件．
故选B．
点评：本题考查三角形的五心的应用，解题时要认真审题，注意向量的灵活运用．