题目内容
过△ABC内部一点M任作一条直线EF，AD⊥EF于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，都有
+
+
=
，则点M是△ABC的（ ）
| AD |
| BE |
| CF |
| 0 |
分析：设EF交AB，AC于G，H两点，因为要使
+
+
=0，只需要
+
=1（*），设
=λ
，
=μ
，
所以（*）化为
+
=1（**），只要（**）成立，这样的M就满足条件．由此入手能够选出正确答案．
| AD |
| BE |
| CF |
| ||
|
| ||
|
| AH |
| AC |
| AG |
| AB |
所以（*）化为
| 1-λ |
| λ |
| 1-μ |
| μ |
解答：解：设EF交AB，AC于G，H两点，
因为要使
+
+
=0，
只需要
+
=1（*），
设
=λ
，
=μ
，
所以（*）化为
+
=1（**），
只要（**）成立，
这样的M就满足条件．
因为M在EF上，
所以
=t
+（1-t）
=tλ
+（1-t）μ
，
当M是三条中线的交点，
所以tλ=
，（1-t）μ=
，
=3t，
=3-3t，
容易验证此时（**）成立，
所以M是三条中线的交点时，可以满足题目条件．
故选B．
因为要使
| AD |
| BE |
| CF |
只需要
| ||
|
| ||
|
设
| AH |
| AC |
| AG |
| AB |
所以（*）化为
| 1-λ |
| λ |
| 1-μ |
| μ |
只要（**）成立，
这样的M就满足条件．
因为M在EF上，
所以
| AM |
| AG |
| AH |
| AB |
| AC |
当M是三条中线的交点，
所以tλ=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| λ |
| 1 |
| μ |
容易验证此时（**）成立，
所以M是三条中线的交点时，可以满足题目条件．
故选B．
点评：本题考查三角形的五心的应用，解题时要认真审题，注意向量的灵活运用．
练习册系列答案
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